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数学常识
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一、除数、被除数、商、余数
在除法运算中，除数、被除数、商和余数是四个基本概念。它们的关系可以用以下公式表示：
被除数 ÷ 除数 = 商……余数 或 被除数 = 除数 × 商 + 余数
被除数：被另一个数除的数（即被“分割”的数）。
例：在算式13 ÷ 5 = 2 余 3中，13 是被除数。除数：用来分割被除数的数。
例：在算式13 ÷ 5 = 2 余 3中，5 是除数。商：除法运算的结果（即整除后的整数部分）。
例：在算式13 ÷ 5 = 2 余 3中，2 是商。余数：被除数除以除数后，剩余无法再整除的部分。
（余数必须小于除数：余数 < 除数）例：在算式13 ÷ 5 = 2 余 3中，3 是余数。什么是整除？
整除是指一个整数被另一个非零整数除尽，商为整数且无余数的数学关系。例：12 ÷ 4 = 3，余数为 0 → 4 整除 12。
二、质数、约数、质因数、倍数
约数：又称因数，指能整除一个数的数。
例：6 的因数是 1, 2, 3, 6。质数：又称素数，指大于 1 的自然数，除了 1 和它本身外，没有其他约数。
例：2, 3, 5, 7, 11, 13...（注意：1 不是质数）。质因数：质因数是指一个正整数的约数，并且该数本身是质数。
例：在2×2×2=8中，2 是 8 的约数且是质数，因此 2 是 8 的质因数。倍数：一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。
例：15 能够被 3 或 5 整除，因此 15 是 3 的倍数，也是 5 的倍数。
（注：不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。）
三、公约数
公约数的定义：又称公因数，是指能同时整除若干个整数的整数。
- 任何两个整数至少有 1 个公约数（即 1）。
- 若两数的最大公约数是 1，则称它们互质（如 8 和 15）。
最大公约数是什么？
公约数中最大的一个叫做最大公约数。例：12 和 15 的公约数是 1、3，最大公约数为 3。如何找最大公约数？
列举法：简单粗暴
例：找 12 和 16 的最大公约数。
列出 12 的约数：1, 2, 3, 4, 6
列出 16 的约数：1, 2, 4, 8
公约数为 1, 2, 4，最大公约数是 4。筛选法：高效快捷
例：找 12 和 16 的最大公约数。
列出 12 的约数：1, 2, 3, 4, 6
筛选出 16 的约数：1, 2, 4
最大公约数是 4。分解质因数法：将两个数分解成质因数，取所有质因数的最低幂次相乘。
例：找 12 和 18 的最大公约数。
12 = 2² × 3¹，18 = 2¹ × 3²
最大公约数 = 2¹ × 3¹ = 6。欧几里得算法：用大数除以小数，取余数；用小数替换原大数，余数替换原小数；重复直到余数为 0，最后的非零余数即为最大公约数。
例：找 48 和 18 的最大公约数。
48 ÷ 18 = 2 余 12
18 ÷ 12 = 1 余 6
12 ÷ 6 = 2 余 0
最大公约数 = 6。
四、公倍数
公倍数的定义：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。
最小公倍数是什么？
公倍数中最小的一个叫做最小公倍数。例：4 和 6 的公倍数有 12、24、36...，最小公倍数为 12。- 如果两个数是质数，那么最小公倍数就是这两个数的乘积。
- 如果两个数存在倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数。
- 如果两数相等，最小公倍数仍为它们本身。
如何找最小公倍数？
列举法：简单粗暴
例：找 4 和 6 的最小公倍数。
列出 4 的倍数：4, 8, 12, 16, 20, 24...
列出 6 的倍数：6, 12, 18, 24...
公倍数为 12, 24...，最小公倍数是 12。筛选法：高效快捷
例：找 4 和 6 的最小公倍数。
列出 4 的倍数：4, 8, 12, 16, 20, 24...
筛选出 6 的倍数：12, 24...
最小公倍数是 12。分解质因数法：将两个数分解成质因数，取所有质因数的最大幂次相乘。
例：找 5、6、8 的最小公倍数。
5 = 5¹，6 = 2¹ × 3¹，8 = 2³
最小公倍数 = 2³ × 3¹ × 5¹ = 120。短除法：先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
例：求 18、30、7 的最小公倍数。
用公约数 2 除，7 不能被整除移下来，得余数 9、15、7；
再用公约数 3 除，得余数 3、5、7（互质）；
乘积 = 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 630 → 最小公倍数为 630。