几何问题 字数: 3741 字 时长: 14 分钟 VIP文档

几何问题⭐⭐

一、公式定义 1、周长定义：平面图形的边界长度，简单来说就是围绕一个平面图形的一圈长度。对于圆形，则指圆的边界，称为圆周长或圆周。

2、面积定义：面积是对一个平面的表面多少的测量。 对立体物体所有表面的面积称表面积。 对立体物体最底下的面的面积称底面积。

3、表面积定义：表面积是指一个物体所有表面积的总和，包括平面和曲面上的面积。

4、体积定义：体积是指物体所占空间的大小，即物体在三维空间中所占据的容积。体积是衡量物体占据空间多少的量，其国际单位制的基本单位是立方米，用符号m³表示。

平面图形 周长公式 面积公式 长方形 (长＋宽)×2 长×宽 正方形 边长 ×4 边长×边长 三角形 三边长度之和 底边长×高÷2 平行四边形 四边长度之和 底边长×高 梯形 上底＋下底＋腰＋腰 (上底＋下底)×高÷2 圆 π × 直径＝ 2 π r π r 2 扇形 ‌①圆心角公式： n 360 π r 2 ，n 是圆心角的度数 ‌②弧长公式： ×r÷2， 是扇形的弧长 立体图形 表面积公式 体积公式 长方体 (长×宽＋长×高＋宽×高)×2 长×宽×高 正方体 棱长×棱长×6 棱长×棱长×棱长 圆柱体 上底面积＋下底面积＋侧面积 底面积×高 圆锥体 底面积＋侧面积 底面积 × 高 3 球 4 π r ² 4 π r ³ 3 拓展公式： （1）长方体体对角线长度= （2）圆锥体侧面积= ， 为圆锥的母线长。圆锥母线就是围成此圆锥所用扇形的半径 （3）圆台侧面积= （ ） 。 R：下底面半径 r：上底面半径 l：母线长度（可通过l＝ 计算，h为圆台高）‌ 二、三角函数 1、sin、cos、tan

（1）正弦： 对 边 斜 边

（2）余弦： 邻 边 斜 边

（3）正切： 对 边 邻 边

2、常用三角函数值

30° 45° 60° 3、余弦定理 非重点

（1）a²=b²+c²-2bc×

（2）b²=a²+c²-2ac×

（3）c²=a²+b²-2ab×

三、图形定理 1、普通三角形：

（1）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 （2）三角形内角和为 180°，外角和360°。 （3）三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段，每个三角形都有三条中线。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。 （4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的1/2。 2、直角三角形：

（1）勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）： a² + b² = c² ①常用勾股数：(3、4、5)；(5、12、13)；(6、8、10)；(7、24、25)。 ②特殊角直角三角形三边关系：如果∠ = 30°，三边的比例是1： ：2。如果∠ = 45°，三边的比例是1：1： 。

（2）圆中的直角： ①不在同一直线的三个点确定一个圆。 ②圆的直径所对的角是直角(90°)。 注：圆上最远的两个点构成直径

3、正三角形：三边相等，三个角60°，边长= ，h为正三角形的高。

4、等边三角形：边长为a，高为 ，面积为 。

正六边形：由6个等边三角形构成 5、三角形几何模型：高相同时，面积比＝底之比；底相同时，面积比＝高之比。

6、相似三角形：指对应内角分别相等、对应边成比例的两个三角形。相似三角形的面积比等于边长平方之比，体积比等于边长立方之比。

7、将一个图形尺度扩大为N倍

（1） 对应角度不变 （2） 对应周长变为原来的N倍 （3） 面积变为原来的N×N倍 （4） 体积变为原来的N×N×N倍 四、扩展：蝴蝶&风筝 1、风筝模型：在任意四边形中(如下图所示)，由对角线分成的四个三角形的面积S1、S2、S3、S4。

（1）满足S1×S3＝S2×S4。 （2）对角线AC平分两半，满足

。

2、蝴蝶模型：在梯形中(如下图所示)，AB∥CD，对角线将梯形分成了四个区域，其中S2和S4看起来像蝴蝶的一对翅膀，所以我们称这两个三角形为蝴蝶三角形(如下图黄色阴影部分所示)。

（1）由对角线分成的左右两个蝴蝶三角形的面积相等。即S2＝S4。 （2）面积比：S1：S2：S3：S4＝a²：ab：b²：ab

五、最短路径 1、识别：求AB两点到直线距离之和最短

2、原理: 两点之间，线段最短

3、方法：

（1）两点为异侧：直接连线 （2）两点为同侧：到直线的最短，镜面对称后连线。

六、最值理论 1、平面图形中：

（1）当周长一定时，平面图形越接近于圆，面积越大； （2）当面积一定时，平面图形越接近与圆，周长越小。 （3）周长相等的多边形中，以正多边形的面积为最大。 2、立体几何中：

（1）当表面积一定时，立体图形越接近于球，体积越大； （2）当体积一定，立体图形越接近于球，表面积越小。 3、特殊矩形：

（1）四边形周长一定，正方形面积最大。 （2）四边形面积一定，正方形周长最小。 七、解题思路 1、根据题意，画出几何示意图。

2、如果是规则图形，按照相对应的公式列方程或直接计算；

3、如果不是规则图形，通过割、补、平移等方法转化成规则图形，再按照相对应的公式列方程或直接计算。

4、在考场上，如果是求长度，可以用直尺量出几何图形的长、宽、高等辅助计算（不能带尺子的话就算了），注意要成比例。

八、随笔练习 例1：(2015国考) 某学校准备重新粉刷升国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分别为 1 米和 2 米，问需要粉刷的面积为：（ ）

A.30 平方米 B.29 平方米 C.26 平方米 D.24 平方米

例2：(2021国考)在一块下图所示的梯形土地中种植某种产量为1.2千克/平方米的作物。已知该梯形的高为100米，ABC、BCD、和CDE为正三角形，且BAF和DEG的角度都是90度，问该土地的总产量为多少吨？

A. B. C. D.

例3：(2018国考) 一艘非法渔船作业时发现其正右方有海上执法船，于是沿下图所示方向左转 30°后，立即以 15 节 (1 节 =1 海里 / 小时 ) 的速度逃跑，同时执法船沿某一直线方向匀速追赶，并正好在某一点追上。已知渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执法船的距离相同，问执法船的速度为多少节 ?

A. 20 B. 30 C. D.

例4：(2020新疆) 某演播大厅的地面形状是边长为100米的正三角形，现要用边长为2米的正三角形砖铺满（如图所示）。问，需要用多少块砖？

A. 2763 B. 2500 C. 2340 D. 2300

例5：(2015江苏) 一实心圆锥体的底面半径为r，母线长为2r。若截圆锥体得到两个同样的锥体（如图），则所得两个锥体的表面积之和与原圆锥体表面积的比值是

A. 1 ：2 B. π+4 ：6 C. 3π+2 ：3π D. 3π+4 ：6π

例7：(2025上海28%) 某公司研发一款饮料瓶，一开始瓶身为圆柱，高h=10cm，底面半径r=5cm。为了更为美观，则以上底面为球的大圆做一个半球，轴截面如图所示。则瓶子的体积约为（ ）cm³。（精确到1cm³）

A. 1440 B. 1047 C. 930 D. 865

例8：(2019新疆)某健身馆准备将一块周长为100米的长方形区域划为瑜伽场地，将一块周长为160米的长方形区域划为游泳场馆。若瑜伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大面积。问两块场地面积之差为多少平方米？（ ）

A. 625 B. 845 C. 975 D. 1150

例9：(2024江苏)某品牌奶茶所用纸杯均为圆台型。已知M型纸杯的上、下口直径分别为70毫米、50毫米，高为80毫米；N型纸杯的上、下口直径分别为60毫米、45毫米，高为60毫米。则M型纸杯与N型纸杯的侧面积之比为（ ）。

A. 16：7 B. 32：21 C. 48：35 D. 64：49

例10：(2017湖南)如下图所示，某条河流一侧有A、B两家工厂，与河岸的距离分别为4km和5km，且A与B的直线距离为11km。为了处理这两家工厂的污水，需要在距离河岸1km处建造一个污水处理厂，分别铺设排污管道连接A、B两家工厂。假定河岸是一条直线，则排污管道总长最短是：

A. 12km B. 13km C. 14km D. 15km

例11：(2021广东选调)如图三角形中，A、B分别为两条边的中点，则图中阴影部分面积为三角形总面积的（ ）。

A. 1/3 B. 1/4 C. 2/7 D. 3/8