最值问题 字数: 2530 字 时长: 10 分钟 VIP文档

题干特征：题干或问法中出现“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”等字眼时 题型一：最不利原则 1、题型特征：问法中出现“至少……才能……，保证(一定)……”或类似表述。

2、“保证”与“可能”的区别：“可能”考虑最好的情况。“保证”考虑最不利的情况。

3、什么叫最不利：通俗的讲就是想象最糟糕的情况，与成功一线之差的情况，然后在这个情况上加 1，则为刚好满足条件的情况。

不利原则：针对班上的学生进行点名，至少点几个人的姓名，才能保证点到同一性别的学生？利用最不利原则，就是考虑与成功一线之差的情况，即第一个点到男生，第二个点到女生(或第一个点到女生，第二个点到男生)，那么，第三个无论是点到男生还是女生，都能保证有同一性别的学生，所以至少点到3个人的姓名，才能保证点到同一性别的学生。 有利原则：针对班上的学生进行点名，至少点几个人的姓名，可能点到同一性别的学生？利用最有利原则，就是考虑最好的情况，第一个点到男生，第二个也正好点到男 生(或第一个点到女生，第二个也正好点到女生)，此时就也达到题目的要求，所以至少点2个人的姓名，就可能点到同一性别的学生。 4、解题方法：“保证数” = “最不利数” + 1

例：袋子有3种颜色的筷子各10根，至少取多少根才能保证3种颜色的筷子都取? 分析：与成功一线之差的情况就是两种颜色的筷子都取完了，即20根，还没取到第三种颜色的筷子，这时只要再取一根就能凑足3种颜色，所以至少取20+1=21根筷子。 题型二：构造数列类 1、题型特征：指若干个数加起来的和是一个固定的常数，问法为“最多/少的……至多/少……”“排名第N的至多/少……”。

（1）问你最多的人最少怎么样？ （2）最少的人最多怎么样？ （3）排名第三的人最多能分几个？ 2、解题思路：

（1）排序定位：根据主体大小依次排序； （2）反向构造：要使某个值尽可能大，则其他的数应尽可能小；反之，要使某个值尽可能小，则其他的数应尽可能大； （3）加和求解：总数一定，全部加和求解答案。 （4）注意事项：最后计算出来的结果是非整数时，不能四舍五入，需要结合题干的问法进行判断。 ①若问最少，计算后应该向上取整； ②若问最多，计算后应该向下取整。 比如：计算结果是7.5，若问最少，则结果应该选8；若问最多，则结果应该选7，这就是向上、向下取整的意思。 题型三：容斥极值类 最值问题中，有一种特殊的构造，涉及到两个及以上的集合的极值，考频不高。如：某兴趣班共有学生45人，其中喜欢音乐、舞蹈、美术的学生分别为36、34、31人，问这三项都喜欢的学生至少有多少人？

题型特征：多集合题目中，问题中出现，至少...都...的情况下 方法1：多集合反向构造 第一步：反向。先分别反向求出各集合的补集；例如：不喜欢音乐、舞蹈、美术的学生，分别有9、11、14人；

第二步：加和。反向的补集进行相加；例如：这9、11、14人毫无重复，则此时“不都喜欢”的最多，有9+11+14=34（人）；

第三步：做差。例如：“不都喜欢”的最多，那么“都喜欢的”最少，有45－34=11（人）。

这种思路的核心是“让不都喜欢的无任何重复，则不满足要求的最多”

方法2：正向思路 1、两个集合A、B满足的至少为A+B-U（U为全集）

2、三个集合A、B、C满足的至少为A+B+C-2U（U为全集）

3、四个集合A、B、C、D满足的至少为A+B+C+D-3U（U为全集）

这种思路的核心是“总人次－喜欢人次的极限值，则满足要求的最少”。

随笔练习 例1：（2022河北）有200人参加招聘会，其中法学70人，经济学60人，工业设计50人，统计学20人，至少有（ ）人找到工作才能保证一定有50人的专业相同。

A.167 B.168 C.170 D.175

例2：（2024年深圳30%）某早餐店推出“10元2件”套餐，顾客花费10元即可在白粥、豆浆、油条、蛋饼、叉烧包、云吞面6个品类中任选2件，既可以选相同的，也可以选不同的。则至少售出（ ）份该套餐时，一定有2份套餐的搭配完全一致。

A.15 B.16 C.21 D.22

例3：（2013国考）某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名：

A.10 B.11 C.12 D.13

例4：（2012河北）要把 21 棵桃树栽到街心公园里 5 处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪最多栽多少棵桃树？ （ ）

A.7 B.8 C.10 D.11

例5：(2015广东) 阅览室有 100 本杂志。小赵借阅过其中 75 本，小王借阅过 70 本，小刘借阅过 60 本，则三人共同借阅过的杂志最少有多少本？（ ）

A.5 B.10 C.15 D.20

例6：(2022江苏) 某机构对全运会收视情况进行调查，在1000名受访者中，观看过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：

A.310人 B.440人 C.620人 D.690人