倍数特性 字数: 3798 字 时长: 15 分钟 VIP文档

题干特征：分数、比例、百分数、倍数 一、整除型 1、定义：若A=B×C（BC均为整数），则A既能被B整除，又能被C整除。常见形式：路程=速度×时间、工作总量=工作效率×时间、总价=单价×数量

2、整除判定法则：将除数a分解成两个互质的整数b和c，若同时被b和c整除，那么这个数可以被a整除。例如要判断X÷18是否可以整除，如果X÷9且X÷2可以整除，那么X÷18也可以整除。

3、整除的传递性：a被b整除，b 被c整除，则a被c整除。

4、整除的可加减性：α被c整除，b 被c整除，则 a ± b 都可以被c整除

口诀法

（1）能被2整除：若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。例：122

（2）能被3整除：若一个整数的所有位数和能被3整除，则这个整数能被3整除。例：123，1+2+3=6，6能被3整除，则123能被3整除

（3）能被4整除：若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。例：124，24能被4整除，则124能被4整除

（4）能被5整除：若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。例：155

（5）能被6整除：若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。例：126

（6）能被8整除：若一个整数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。例：1112，112能被8整除，则1112能被8整除

（7）能被9整除：若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。例：927，9+2+7=18，18能被9整除，则927能被9整除

（8）能被10整除：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除项。例：1000

拆分法（常用3、7、11）

（1）定义：一个数 ＝ 接近且明显能被整除的数 ± 零头，然后只看零头

（2）例子：623 ÷ 7 把 623 拆成 7 的倍数 ± 零头（630-7），只看零头能否被 7 整除

二、余数型 1、定义：若总数 = ax + b ，则（总数 - b）能被 a 整除，（a，x均为整数）

（1）例1：一堆苹果分给一些人，平均每人分3个…，问这堆苹果有多少个？总数一定能被3整除

（2）例2：一堆苹果分给一些人，平均每人分10个，还剩3个…，问这堆苹果有多少个？（总数 - 3）一定能被10整除

（3）例3：一堆苹果分给一些人，平均每人分10个，还缺3个……，问这堆苹果有多少个？（总数 + 3）一定能被10整除

三、比例型 1、什么是比例：即数量之间的对比关系，就是用份数之比来代替两个相关联的实际量之比。例如甲、乙两个班人数分别为 27 人和 30 人，则甲班：乙班的人数之比为9：10，这个比例可以直接看出来甲班比乙班少1/10，乙班比甲班多1/9等两班人数之间的对比关系。

2、份数思想：若已知 A：B＝3：7，份数思想就是把 A、B 分别看成3份与7份。利用份数代替实际量计算。份数贯穿整个比例思想的始终。

3、比例的计算：

（1）比例的统一：当甲与乙比值为A：B，乙与丙比值为C：D，甲乙丙比值需要统一。找到前后比例关系中交叉部分的公倍数。 例：笔记本和笔的价钱比为2：3，笔与橡皮的价钱比为2：3。前后比例关系中交叉部分为笔，分别是3、2，公倍数为6，则笔记本：笔为4：6，笔：橡皮为6：9，则笔记本：笔：橡皮=4：6：9。 （2）已知比例及其中某个量的值。 例：已知A：B＝4：7，A为12，求 B。4份对应12，则每份=12÷4=3，则7份对应3×7=21，所以B=21。 （3）比例与加减。 （1）a＋b＝10，a：b=4：1。由a、b分别是4份、1份，总共5份，5份等于10，1份为2，所以a＝2，b＝8 （2）a-b＝5，a：b＝2：1。由a、b分别是2份、1份，总共3份，a比b多一份，则1份为a-b＝5，所以a＝10，b＝5 （3）a：b：c＝4：7：3，b＋c＝50，求a？ a、b、c分别是4份、7份、3份，（7+3）份对应50，1份为5，4份为20，所以a＝20 （4）a：b：c＝4：7：3，b比a多24，求b？a、b、c分别是4份、7份、3份，b比a多则7份-4份=24，1份为8，7份为56，所以b＝56 4、正反比关系：在M＝A×B形式中，当A或B一定时，另外两个量成正比，即当A一定时， M 1 M 2 ＝ B 1 B 2 ，当M一定时，A与B成反比，即 A 1 A 2 ＝ B 2 B 1 。

例：做一项工程，甲与乙的效率之比为3：7，且乙单独做比甲做时少用12天，问乙单独做此项工程需要几天?

解析：工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量是一定的，所以效率与时间成反比，题干中甲与乙的效率之比为3：7，所以甲与乙的时间之比为7：3，乙比甲少4份，4份对应12天，1份对应3天，所以乙单独做的时间3×3=9天。

四、随笔练习 例1：(2017河南) 如下图，一个正方体的表面上分别写着连续的 6 个整数，且每个相对面上的两个数的和都相等，则这 6 个整数的和为（ ）。

A.53 B.52 C.51 D.50

例2：(2024广东) 档案室需要整理300份档案，要求每天整理的档案数量相同，且规定了完成的期限。如果要提前一天完成，那么每天需要多整理10份档案。则规定的期限为（ ）天。

A.6 B.7 C.8 D.9

例3：(2016北京) 某单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数 62.5%。现又有 2 名职工评上中级职称，之后该单位拥有中级及以上职称的人数占总人数 。则该单位原来有多少名职称在中级以下的职工？（ ）

A.68 B.66 C.64 D.60

例4：(2024青海) 大学生创业主要集中在高科技、智力服务、连锁加盟和自媒体运营四个领域。某学院今年选择创业的大学毕业生不到50人，其中选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的分别占 ， 和， 。那么该学院今年选择高科技领域创业的大学毕业生有多少人?

A.1 B.3 C.5 D.7

例5：(2019安徽阜阳事业单位) 某运输队运一批大米，第一次运走总数的 还多60袋，第二次运走总数的 少60袋，还剩220袋没有运走，这批大米一共有多少袋？（ ）。

A.350 B.400 C.450 D.500

例6：(2024广东事业单位36%) 某单位共有250名员工，其中全体党员人数比女性非党员人数多68%，男性非党员不超过100名，则该单位可能有（ ）名党员。

A.67 B.75 C.116 D.126

例7：(2019广西百色事业单位) 王老板的水果摊三种水果的价格分别为：梨6元/斤，苹果5元/斤，柑橘3元/斤。当天，梨与苹果的销售量之比为4：3，苹果与柑橘的销售量之比为2：11，卖柑橘的收入比卖梨的收入多102元，则王老板这天共销售水果（ ）斤。

A.75 B.94 C.141 D.165

例8：(2014广东) 在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按 7 男 5 女搭配分组，则只剩下 8 名男员工；如果按 9 男 5 女搭配分组，则只剩下 40 名女员工。该公司员工总数为（ ）名。

A.446 B.488 C.508 D.576

例9：(2020事业单位联考A类) 一堆棋子中，黑棋子的数量是白棋子的4倍。从这堆棋子中每次取出黑棋子6颗，白棋子4颗，当黑棋子剩42颗时，白棋子还剩3颗。问这堆棋子中黑棋子比白棋子多多少颗？（ ）

A.30 B.35 C.40 D.45

例10：(2011国家36%) 某城市共有A、B、C、D、E五个区，A区人口是全市人口的 5/17，B区人口是A区人口的 2/5，C区人口是D区和E区人口总数的 5/8，A区比C区多3万人。全市共有多少万人：

A.20.4 B.30.6 C.34.5 D.44.2

例11：(2014天津) 王明抄写一份报告，如果每分钟抄写30个字，则用若干小时可以抄完。当抄完 2/5时，将工作效率提高40%，结果比原计划提前半小时完成。问这份报告共有多少个字：

A.6025 B.7200 C.7250 D.5250