方程思想 字数: 3993 字 时长: 15 分钟 VIP文档

数学运算的大部分题型，都可以使用方程法思想来解答，掌握基本的设元方法，准确找出题目中的等量关系进行列式，是数学运算中最重要的方法。其中，对于一些典型题型，如“盈亏问题”、“鸡兔同笼问题”、和差倍比问题“等等，使用方程法思想解题才是最快的。 一、基本方程 1、一个未知数： （1）设小不设大(避免出现分数) （2）设中间量(方便列式) （3）求谁设谁(避免出现陷阱) 2、多个未知数： （1）存在多个未知数，设 、 、 。 （2）建立方程组，抓住问题消元求解未知数。 二、不定方程 不定方程是数学中一类未知数个数多于方程个数或未知数受到特定限制(如整数、正数等)的方程或方程组,其核心特点在于解的不唯一性。

1、不定方程：

形式： 解不定方程问题常用的解法：综合利用代入排除法、整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、余数特性、赋值法、等多种数学知识来得到答案。 3、不定方程组：

未知数一般是整数就先消元转化成不定方程，再按不定方程求解。 未知数如果是小数（时间、单价），可以采用配系数法或赋零法。 拓展：赋零法 为什么可以使用赋零法？因为小数具有连续性。 比如方程3x + 5y = 1，当所求的未知数为整数时，我们令y=0，解得x=1/3，但这不是整数解，即(1/3, 0)不是一个解。如果未知数是小数，方程就有无数组解，随便找一组即可，而0是最简单的，因此可以用赋零法。建议使用时让最复杂的未知数为0，代入进行计算。

拓展：配系数法 通过调整方程中未知数的系数，使所有未知数的系数相同，从而将不定方程转化为定方程。简单的说就是配出n(x+y+z)的值。 例如：木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张，共需要多少小时? 设木匠加工一张桌子、一张凳子、一张椅子各需要x、y、z小时，可以列出两个方程2𝑥+4𝑦=10①4𝑥+8𝑧=22 ②。因为我们要求(10x+10y+10z)小时，可以将所求未知数的系数配成相同即可。此时可以将①式扩大2倍变为：4x+8y=20③，②+③得：8x+8y+8z=42。故x+y+z=42÷8，则所求为42÷8×10=52.5小时。并且题干满足赋0法的使用条件（小数），本题赋值z=0。则4x=22，求得x=5.5。将x=5.5代入①式得：11+4y=10，解得y=−0.25。所以10x+10y+10z=10×(5.5-0.25+0)=52.5小时。

三、扩展：盈亏思维 1、什么是盈亏：把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，就叫亏。

2、题型特征：给出某物体的两种分配标准和结果，来求物体数量和参与分配的对象数量。由于每次分配都可能出现刚好分完、多余或不足这三种情况，那么就会有多种结果的组合。

3、基本公式：此类问题本质可以使用方程来解，如果记住公式遇到此类题会比方程法做得更快。

类型 公式 一盈一亏型 盈数 + 亏数 两次分配数的差 =对象数 两次皆盈型 大盈 − 小盈 两次分配数的差 =对象数 两次皆亏型 大亏 − 小亏 两次每人分配数的差 =对象数 一盈一尽型 盈数 两次分配数的差 =对象数 一亏一尽型 亏数 两次分配数的差 =对象数 例：小朋友分糖果，每人分5颗（分配）剩余12颗（盈），每人分8颗（分配）少6颗（亏），问有多少个小朋友？ 分析：可以使用方程法，设糖果x颗，小朋友y个，列出两个方程即可解决。这里我们使用盈亏问题的公式一盈一亏型： 盈数 + 亏数 两次每人分配数的差 =对象数，及 12 + 6 8-5 =6（个）。 4、注意：

（1）隐藏的盈亏：题目看不出“盈”或“亏”，那么需要转化为标准的盈亏问题。例如“每船坐4人则多出2人；若减少1条船则每船坐6人刚好把人全带上。问有多少人？”这里的“减少1条船则每船坐6人刚好把人全带上”需要转化成“每船坐6人则剩6人“（减少1条船，那就补上一条船，那么就少6人），那么（6+2）÷（6-4）=4条船，注意这里的对象数是船，代入4×4+2=18人”。 （2）分步的盈亏：前面都是给分两种情况，而分步就是按照第一步，再第二步来完成。例如”先每人发2本书，剩余10本；再补发每人3本，最后少5本，有多少学生？“这里的先...再...就是分步，第二步补发每人3本，那不就是每人发5本少了5本，那么（10+5）÷（5-2）=5人。 四、随笔练习 例1：（2024黑龙江）某包装车间包装甲、乙两种规格的袋装杂粮，甲、乙两袋杂粮的重量之比为5：2，如果从甲袋中称出2公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。问甲袋杂粮原来重量为：

A.8公斤 B.10公斤 C.12公斤 D.15公斤

例2：（2018四川）甲车间的生产效率是乙车间的 1.5 倍，分别生产 1200 件相同的产品，甲车间所需时间比乙车间少 10 天。问甲、乙两个车间合作生产 3000 件相同的产品需要多少天？（ ）

A.20 B.25 C.30 D.35

例3：（2019山东选调）某工厂生产过程中需要用到 A、B、C 三种零件，工厂仓库中原有三种零件的数量比为 1：2：3，现在采购部门新购进一批零件，新购进三种零件的数量比是 3：2：4，工厂每天使用的三种零件数量相同，当 A 零件用完的时候，B 零件还剩下 10 个，C 零件还剩下 170 个，请问工厂仓库中原有 A、B、C 零件各多少个？（ ）

A. 40，80，120 B. 50，100，150 C. 60，120，180 D. 70，140，210

例4：（2020深圳）某快递集散点有一批包裹，由甲、乙、丙三名快递员各自独立完成送达。其中有93件不是甲派送的，92件不是乙派送的，91件不是丙派送的，则甲派送了（ ）件。

A. 44 B. 45 C. 46 D. 47

例5：（2009浙江）有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位乘客均有座位，且车上没有空座，则需大客车的辆数是：

A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆

例6：（2020广东）某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，需要装到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋（ ）个。

A.2 B.3 C.5 D.7

例7：（2019黑龙江）某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

例8：（2018上海）现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元；若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需_____元。

A. 50 B. 100 C. 150 D. 200

例9：（2019浙江15%）某地鼓励农户种植果树，规定每个自然年末种植果树面积比年初增加 5 亩，农民可得到 2000 元奖金，且超出 5 亩后每增加 1 亩可额外获得 x 元奖金。已知每个自然年种植的果树，从下一自然年起每亩每年可获得 y 元的果树收入。某农户第一年开始种植果树，当年种植 10 亩，获奖金 3500 元；第二年种植面积扩大 16 亩；第三年种植面积又扩大 15 亩，年收入比第一年的 16 倍多 1000 元。则以下哪个不等式能准确描述 x 与 y 的关系（ ）（注：年收入 = 奖金 + 果树收入）

A. x ＜ 0.2y B. 0.2y ≤ x ＜ 0.5y C. 0.5y ≤ x ＜ y D. x ≥ y

例10：（2019江苏）某机关事务处集中采购了一批打印纸，分发给各职能部门。如果按每个部门9包分发，则多6包；如果按每个部门11包分发，则有1个部门只能分到1包。这批打印纸的数量是：

A. 87包 B. 78包 C. 69包 D. 67包

例11：（2021国家40%）商业街物业管理处采购了一批消毒液发放给街内的复工商户，如果每个商户分6瓶，最后剩余12瓶。如果多采购30%，则在给每个商户分8瓶后还能剩余10瓶。如果多采购80%，复工商户数量增加10家，且每个商户分到的数量相同，问每个商户最多可以分多少瓶？

A. 8 B. 9 C. 10 D. 12