计算问题 字数: 9516 字 时长: 35 分钟 VIP文档

本章节的内容考频比较低。

一、等差数列   等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。例如：1，3，5，7，9……。数列的第一项叫做首项。   相邻两项的差值叫做公差，用 d 表示。前n项和用 Sn 表示

1、基本公式

（1）通项公式：

；其中 表示第n项的值。 （2）递推关系‌： ＝ ＋d＝ ＋2d＝...＝ ＋(n-1)d （3）求和公式： ①

= +

② 中 间 项 （ 为 奇 数 ） 中 间 两 项 和 （ 为 偶 数 ）

例：(2016河北事业单位) 某剧院共 25 排座位，后一排均比前一排多 2 个座位，已知最后一排有 80 个座位，问这个剧院一共有多少个座位？

A.1200 B.1300 C.1400 D.1500

例：(2017江苏) 某一楼一户住宅楼共17层，电梯费按季交纳，分摊规则为：第一层的住户不交纳；第三层及以上的住户，每层比下一层多交纳10元。若每一季度该住宅楼某单元的电梯费共计1904元，则该单元第7层住户一季度应交纳的电梯费是：

A. 72元 B. 82元 C. 84元 D. 94元 二、周期循环 1、周期余数：

（1）题型识别：出现循环或周期，问第/过N天/年是星期几。

（2）解题思路：

①找周期：确定周期的起点和长度 ②算余数：总数（N）÷周期＝周期数量……余数（n） ③做等价：第N项等价于该周期的第n项；过N项等价于该周期的过n项。 注：过N天＝第（N＋1）天 引例1：1月1日是星期一，问一月份第16天（1月16日）是星期几？

【解析】题干中出现星期，即存在周期，问某一天是星期几，因此可判断本题为周期余数问题。1月1日是第一天，那么1月16日为第十六天。第16天÷7＝2周……2天；一个周期是周一到周日，两周还是周日，周期结束之后再往下数两天，故一月份第16天为星期二。 引例2：1月1日是星期一，问再过16天是星期几？

【解析】题干中出现星期，即存在周期，问再过几天是星期几，因此可判断本题为周期余数问题。过16天，是从1月1号再往下数16天，即题目可转化为求1月17号星期几？第17天÷7＝2周……3天；即一个周期是从周一到周日，周期结束是周日，再往下数3天为周三，故再过16天为星期三。 2、周期相遇：

（1）题型识别：出现多个小周期，求再次相遇。

（2）解题思路：找多个小周期的最小公倍数。

注：每隔N天＝每（N＋1）天

引例1：小刘每2天去一次图书馆，小凯每3天去一次图书馆，8月1日两人同去了图书馆，问下次两人同时去图书馆的日期？

【解析】题干中出现2天去一次，3天去一次，即多个小周期，问下次相遇的日期，因此可判断本题为周期相遇问题。最小公倍数为6（2和3的最小公倍数），也就是每六天两人同去一次图书馆，下次两人同时去图书馆为六天后，8月1日再过6天为8月7日。故下次两人同时去图书馆的日期为8月7日。 3、星期日期推断：

（1）题型识别：给出一段时间内有若干个周几，推算某一天是周几。

（2）解题思路：给出时间段为一个月，则取连续28天，求前（月初）取后，求后（月末）取前。

（3）常用结论：

①每连续7天，必有周一到周日各1天。 ②每连续28天，必有周一到周日各4天。 例：(2013国考)书架的某一层上有 136 本书，且是按照“3 本小说、4 本教材、5 本工具书、7 本科技书、 3 本小说、4 本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书？

A.小说 B.教材 C.工具书 D.科技书

例：(2019新疆事业单位)某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？

A.5 B.2 C.6 D.3

例：(2018山西事业单位)根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是：

A.周一或周三 B.周三或周日 C.周一或周四 D.周四或周日 三、钟表问题 1、钟面问题：在钟面上，我们主要研究时针和分针之间的关系。这包括时钟的快慢、周期以及时针和分针之间的角度。时钟问题可以看作是一个特殊的圆形轨道上的追及或相遇问题，这里的“人”是分针和时针。与其他行程问题不同，这里的速度和总路程的计算方式不再是米每秒或千米每小时，而是每分钟走多少角度或多少小格。

①对于正常的时钟，整个钟面为360度，上面有12个大格，每个格子为30度，60个小格，每个小格为6度。

②分针速度：走一圈是1小时即60分钟，每分钟走360÷60=6度。

③时针速度：走一圈是12小时即720分钟，每分钟走360÷720=0.5度，时针每小时走360÷12=30度。

④公式：角度差÷速度差 =分钟数

角度差：指两个指针在初始时刻到达目标位置之间的角度差（单位：度）。例如，在3:00时，要经过多久可以重合，初始时刻时针与分针的角度差是90°，目标位置因为重合，所以角度差为0°。因此最终的角度差为90°。 速度差：指两个指针的相对速度（单位：度/分钟）。在钟表问题中，速度差通常是分针速度减时针速度（6-0.5=5.5，分针相对于时针的追赶速度）。 分钟数：指从初始时刻开始，直到两个指针达到目标位置（如重合）所需的时间（单位：分钟）。

2、坏钟问题：坏钟问题涉及坏钟时间与标准时间的关系，统称为坏钟问题。其本质其实是比例问题，解题时只需要找出坏钟与标准时间的倍比关系即可。好坏钟问题有两种考查方式：

（1）第一种，就是问坏钟经过多久会重新走对？

①假设有一个钟每天快30分钟，某天中午12点将其调至标准时间，则经过多久会再次显示标准时间？

②这个钟每天快30分钟，那2天就会快出1个小时；4天快出2个小时.....24天快出12小时..；也就是经过24天后该坏钟会再次显示标准时间；变成了周期循环问题了。

③那假设有2个坏钟，各有各的坏，当同时给调整为标准时间之后，要再经过多久两个坏钟会同时显示标准时间？

④既然1个钟是倍数问题，那2个钟就是最小公倍数问题了

⑤分别找出两个钟显示标准时间所需天数，求最小公倍数即可

（2）第二种，就是在坏钟的指导下如何有序安排生活和工作？

①举个例子：小明家有一个闹钟，由于电池存在问题，所以每个小时都会慢4分钟，现在于晚上22:00时将该钟对成标准的时间，则当这个钟显示早晨06:10时，实际的时间为?

②分析：由于坏钟每小时慢4分钟，也就是好表每小时走60分钟的情况下，坏表要走56分钟；现在从22:00到早晨06:10，相当于坏钟盘面显示的时间整体经过8小时10分，即490分钟，那么根据比例关系，正常时间应经过 坏 好

= 分钟，x=525分钟，好表此时比坏表多525-490=35分钟，即实际的时间为6点10分+35分=06:45

③总结：若坏钟每小时快/慢N分钟，则 快 慢 钟 经 过 的 时 间 标 准 钟 经 过 的 时 间

例：(2021河北)张爷爷早晨5点多外出晨练，出门时钟表上的时针和分针的夹角是110度，不到6点进门时，钟表上的时针和分针的夹角还是110度，则张爷爷外出时间是多少分钟？

A.30 B.35 C.40 D.45

例：(2014江苏)小张的手表每天快30分钟，小李的手表每天慢20分钟，某天中午12点两人同时把表调到标准时间，则两人的手表再次同时显示标准时间最少需要的天数为：

A.24 B.36 C.72 D.114

例：(2019青海28%)一个时钟每小时慢4分钟，照这样计算，早上6:00对准标准时间后，当日晚上该时钟指向8:00时，标准时间是多少？

A.20:56 B.21:00 C.21:30 D.21:56 四、平均数问题 1、基本公式：平均数=总数÷总份数。比如一个班级的平均分就等于全班的总分除以全班总人数。关键是通过题目条件灵活转换公式，建立方程。

2、加权平均数问题：比如男生的平均分是80分，女生的平均分是90分，整个班级的平均分是85分，求男生和女生的人数比。

分析：因为整个班级的平均分是男生和女生平均分的加权平均数，权重就是各自的人数。假设男生有m人，女生有n人，那么总分就是80m + 90n，总人数是m + n，平均分是(80m + 90n)/(m + n) = 85。 速算：十字交叉法或线段法 3、动态变化问题：当数据增减导致平均数变化。被操作数据 = 原总和 - 新总和

例如：有n个数，原平均20，移除一数后平均变为22，求移除的数字？ 分析：被移除数 = 20n - 22(n-1) = -2n +22 例：(2012山东)某单位依据笔试成绩招录员工，应聘者中只有1/4被录取。被录取的应聘者平均分比录取分数线高6分，没有被录取的应聘者平均分比录取分数线低10分，所有应聘者的平均分是73分。

问录取分数线是多少分： A.80 B.79 C.78 D.77

例：(2014广州)有七位考官对一位应聘者评分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则平均分为7分；如果只去掉一个最高分，则平均分为6.75分；如果只去掉一个最低分，则平均分为7.25分。那么，这位应聘者所得的7个分数中，最高分与最低分的差值为多少分：

A.1.5 B.2 C.3 D.3.5 五、植树问题 1、开放空间植树问题公式： （1）两端植树：树的棵数=段数+1= 总 路 长 间 距 +1； （2）环形植树/一端植树：树的棵数=段数= 总 路 长 间 距 （3）楼间植树/两端都不植树：树的棵数=段数-1= 总 路 长 间 距 -1； 2、求不移动植树问题： 例1：道路原来安装（A+1）座路灯，每座路灯之间距离相同，之后安装（B+1）座路灯，每座路灯之间距离仍然相同，问最多有（ ）座原来的路灯不需要移动。

例2：道路原来每隔X米一座路灯，每座路灯之间距离相同，之后每隔Y米一座路灯，每座路灯之间距离仍然相同，问最多有（ ）座原来的路灯不需要移动。

（1）题型特征：间隔距离发生改变 （2）解题方法： （1） 给总长、间距：不移动棵数= 总 长 间 距 的 最 小 公 倍 数 ； （2）未给总长，给棵树，根据棵树可计算段数：不移动棵数=两次段数的最大公约数 （3）注意：两端植树，不移动棵数需要+1，楼间/两端都不植树需要-1。 3、两侧植树最后记得用一侧数量×2 例：(2024广东粉笔模考)一条道路从起点开始，一侧每隔3米种一棵杉树，另一侧每隔4米种一棵松树，最终两侧一共种植702棵树，且每侧起点、终点均有种植，则这条道路的长度为：

A.800米 B.1200米 C.2400米 D.2424米

例：(2018重庆选调)某公路的一侧从一端到另一端每隔3米植一棵树，一共挖了49个坑。现在要改成每隔4米植一棵树，那么可以不重新挖的坑共有（ ）个。

A.8 B.9 C.11 D.13

例：(2017广东)施工队给一个周长为40米的圆形花坛安装护栏。刚开始，每隔1米挖一个洞用于埋栏杆。后来发现洞的间隔太远，决定改为每隔0.8米挖一个洞。那么，至少需要再挖几个洞？

A.39 B.40 C.41 D.42 六、天平称重 1、题型：一类是砝码称重；一类是小球称重。

2、砝码称重：给出砝码，要求用最少的次数称出要求的重量。

（1）解题思路：用已有砝码加取得到相应的重量时，该重量作为新的“砝码”使用，以此类推，这样就可以减少称重的次数。 3、小球称重：给出固定数量的小球(或硬币)，要求用最少的次数找出“不规则”小球(或硬币)。

（1）解题思路：使用n次天平最多可以称重3ⁿ枚硬币。 （2）解释：有九枚硬币，其中一枚重量轻，可以将它们分为三组，每组三个。将第一组和第二组放在天平上称重，如果重量相等，说明第三组有问题；如果不相等，说明轻的那一组有问题。剩下有问题组的三枚同理再使用一次天平可以找出。 （3）应用：根据这个结论，我们可以知道，使用2次天平可以最多判定9枚硬币，使用3次可以判定27枚，使用4次可以判定81枚。因此，如果有58枚硬币，至少需要称4次才能确定哪枚是假币。 例：(2012浙江)有一架天平，只有5克和30克的砝码各一个。现在要用这架天平把300克味精平均分成3份，那么至少需要称多少次?

A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次

例：(2023深圳21%)小孟有58枚硬币，其中1枚为假，目前已知道真币重量相同，假币重量偏轻。如果小孟手中只有一个天平，则至少称（ ）次一定能找出假币。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 七、空瓶换水 1、题型特征：空瓶换水问题研究的是如何用空瓶换取更多水，这需要我们深入理解交换的逻辑。

2、两种考法：

（1）根据空瓶数和兑换规则，计算最多能喝多少水。

（2）根据喝到的水数和兑换规则，确定至少需要购买多少瓶水。

3、解题思路：明确兑换原则。

比如：假设7个空瓶可以兑换一瓶水，即7个空瓶=1个空瓶+1瓶水(不算瓶子)，可得出 6个空瓶=1瓶水。

比如：假设7个空瓶可以兑换2瓶水，即7个空瓶=2个空瓶+2瓶水(不算瓶子)，可得出 5个空瓶=2瓶水，本质是等价交换。

结论：m为现有空瓶数，n个空瓶子可兑换K瓶水，则可喝到水数目为 的整数部分。

例：(2019山东选调)某啤酒厂为促销啤酒，开展6个空啤酒瓶换1瓶啤酒的活动，孙先生去年花钱先后买了109瓶该品牌啤酒，期间不断用空啤酒瓶去换啤酒，请问孙先生去年一共喝掉了多少瓶啤酒？

A. 127 B. 128 C. 129 D. 130

例：(2009浙江)“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？

A. 296 B. 298 C. 300 D. 302 八、比赛问题 其实比赛的问题，如果男生喜欢看球赛，已经很熟悉淘汰赛，循环赛，单循环双循环季后赛。可能女生在这类题可能略微吃亏一点，因为女生看球赛看的少一点，但比赛问题相对来说并不是很难。

1、淘汰赛：两个人打比赛，谁输了谁回家。

假设4支队伍来打淘汰赛，第一次第一场应该是2个对2个。第一次打比赛是4个队伍分成2组，两两打谁输了谁回家。剩下2人，最后决出冠军。

这里面有个轮空机制，假设50支队伍来打淘汰赛，第一轮打完剩余25支队，这个时候就只能是12组对12组，还剩1支队伍不用打比赛，直接晋级，这就是轮空。第二轮打完剩余12+1=13支队伍。同理分成6组对6组，剩1支队伍不打，第三轮打完剩余6+1=7，同理分成3组对3组，剩1支队伍不打，第四轮打完剩余3+1=4支，这个时候就不需要轮空了。三轮的轮空，可以是同一支队伍，抽签抽到了，就是躺赢，直接躺进4强。总结：当队伍数量为偶数时不需要轮空，当队伍数量为奇数时，则需要轮空。

淘汰赛为了决出冠军要安排多少场比赛？每打一场比赛淘汰掉一个队伍，n支队伍需要安排n-1场比赛。

2、循环赛：循环赛要更加的公平一些了，大家都有机会去充分的展示一下自己。

（1）单循环赛：每支队伍都要和其他队伍进行一次比赛，N支队伍的总场次是 =N×（N-1）÷ 2 （2）双循环赛：每支队伍都要和其他队伍进行两场比赛（分主场和客场），N支队伍的总场次是 =N×（N-1） 例：(2016广东)某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安排23支队伍抽签两两争夺下一轮的出线权，没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛一共会出现（ ）次轮空的情况。

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

例：(2022江苏11%)有5支足球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得3分，负者不得分，平局双方各得1分。比赛结束后，若5支球队的总得分为25分，冠军得12分，则亚军得：

A. 5分 B. 6分 C. 7分 D. 8分

例：(2015新疆)某单位五个科室间举办拔河比赛，每两个科室之间最多比赛一场。其中甲、乙、丙、丁科室分别参加了4、3、2和1场比赛，问已经进行了多少场比赛？

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 九、过河爬井 过河跳井问题主要考察考生对递推逻辑和效率优化的理解。虽然问题场景不同（过河与跳井），但两者的解题思路和核心公式高度一致，均围绕“净效率”展开计算。

1、过河问题

（1）题型特征：M个人需要过河，船能载N个人，且需要A个人划船，问需要几次才能过河？

（2）公式：假设需要A个人划船，那船上的空位为N-A个，即每次可以有N-A个人过河；次数=总需运送人数÷每趟实际运送人数=（M-A）÷（N-A）；

（3）注意：若结果不是整数，必须向上取整（例如，13.2次需取14次）。

（4）补充规则：若题目要求计算“往返次数”（去程和返程各算一次）；往返次数 = 次数 × 2 - 1（最后一次过河无需返程，因此总次数减少一次）

2、爬井问题

（1）题型特征：蜗牛掉井里，井深为m米，每天爬上n米，又滑下a米，求需跳多少次才能出井？

（2）公式：次数=（井深 - 最后一次跳跃前滑落量）÷净上升高度=（m - a）÷（n - a）

（3）注意：结果需向上取整，且最后一次跳跃无需下滑。

例：(2015重庆)一人爬有20个阶梯的楼梯，假定每次向上爬5个阶梯，又下走3个阶梯，问该人需几次能跑到楼梯顶部？

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

例：(2019安徽阜阳基层特岗)42名游客需要到河对岸去野炊，只有一条小船，每次最多载5人（其中需1人划船），往返一次需6分钟，如果9时整开始渡河，9时20分时，至少有（ ）人还在等待渡河。

A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 十、四牛问题 1、题型特征：一般是指多个主体一起过河，但是每次只能两个主体（一般情况下）一起走，且必须有一个主体往返于之间充当“传递者”的作用，这类问题要具体问题要具体分析。

例：小明骑在牛背上赶牛过河，有甲乙丙丁4头牛。甲牛过河需要1分钟，乙牛需要2分钟，丙牛需要5分钟，丁牛需要6分钟。每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。全部牛过河至少需要几分钟？ 2、解题技巧：一般的做法是最快的一起过去（一则省时间，二则往返花费时间最少），最慢的一起过去（省时间）；最快的充当传递者，最快的不在，第二快的上！

解：以上面的例子，最快的一起过去，那么骑甲牛赶乙牛过河，最快的充当传递者，即骑甲牛返回。此时花了2+1=3分钟。 再最慢的一起过去，那么骑丙牛赶丁牛过河，最快的充当传递者，即骑乙牛返回。此时花了6+2=8分钟。 此时剩余甲牛和乙牛，过河需要2分钟。全部牛过河至少需要3+8+2=13分钟。 如果分别是1、4、5、8 分钟，该解题技巧就不适用了，不是万能的。 3、四牛秒杀公式（1301或2111）：1×A＋3×B＋0×C＋1×D或2×A＋1×B＋1×C＋1×D，ABCD表示四头牛的过河时间少到多排列。四牛要取1301和2111中更小的那个。

解：以上面的例子，代入公式得1×1＋3×2＋0×5＋1×6=13分钟。 4、五牛秒杀公式（23101或31111）：2×A＋3×B＋1×C＋0×D＋1×E或3×A＋1×B＋1×C＋1×D＋1×E，ABCDE表示五头牛的过河时间少到多排列。五牛要取23101和31111中更小的那个。

注意：秒杀公式不是万能的，有的时候牛过河时间差不多的话公式就有问题。

例：(2010吉林)毛毛骑在牛背上过河，他共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲过河要20分钟，乙过河要30分钟，丙过河要40分钟，丁过河要50分钟。毛毛每次只能赶2头牛过河，要把4头牛都赶到对岸去，最少要多少分钟：

A. 190 B. 170 C. 180 D. 160

例：(2022联考)某天夜晚发生了地震，小区大面积停电，为了保证安全，所有住户需要迅速转移到楼下;而楼梯已经遭到破坏，一次只能允许2人通过，且需要携带手电照明;某户人家只有一个手电筒可以用，每次下楼的人还要有一人在送回来，已知爸爸下楼需要3分钟，妈妈下楼需要5分钟，奶奶下楼需要7分钟，爷爷下楼需要8分钟，小明下楼只要2分钟，问这家人下楼最少用多少时间?

A. 26 B. 27 C. 28 D. 29