容斥问题 字数: 2670 字 时长: 10 分钟 VIP文档

一、两者容斥   如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，先把 A、B 两个集合的元素个数相加，A 和 B 中都算了一次 A∩B 部分的元素，所以要把这部分重复计算的元素减去一次。如下图所示。

公式：I-非A且非B=A＋B-A‌∩B，【记忆口诀】总数－都不＝两集合之和－两集合公共数 注意：如果题目中有提到类似“每人参加了至少一项”的表述，说明都不满足数=0，即非A且非B=0 二、三者容斥

三集合标准公式：I-非A且非B且非C=A＋B＋C-A‌∩B-B‌∩C-A‌∩C＋A‌∩B‌∩C，【记忆口诀】总数－都不满足=A＋B＋C-(A∩B)-(A∩C)-(B∩C)＋(A∩B∩C) 三集合非标准型公式：总数－都不满足=A＋B＋C－只满足两项－2×满足三项 公式推导

根据上图：总数－都不满足=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；A=1＋4＋6＋7；B=3＋5＋6＋7；C=2＋4＋5＋7。 然后A＋B＋C=1＋2＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋7＋7＋7 发现跟总数－都不满足相比，4、5、6多计算了一次，7多计算两次。 4代表只满足AC，5代表只满足BC，6代表只满足AB，我们把4、5、6三块统称为“只满足两项” 7是A‌∩B‌∩C，统称为“满足三项” 因此总数－都不满足=A＋B＋C－只满足两项－2×满足三项（非标准型公式） 我们在换个思路，4＋7可以用A∩C表示，5＋7可以用B∩C表示，6＋7可以用A∩B表示 因此我们可以这样写：A＋B＋C-（4＋7）-（5＋7）-（6＋7）=1＋2＋3＋4＋5＋6 发现多减了一个7，因此需要加回来，所以总数－都不满足=A＋B＋C-（4＋7）-（5＋7）-（6＋7）＋7 即总数－都不满足=A＋B＋C-A∩B-A∩C-B∩C＋A∩B∩C（标准公式） 注意：如果题目中有提到类似“每人参加了至少一项”的表述，说明都不满足数=0，即 非A且非B且非C=0 三、画图法 1、在以下情况下需要画图‌：画图法可以解决所有的容斥问题，公式可以解决一部分基础的容斥问题。 （1）当题目中明确指出某个元素“只满足”或“仅满足”某个条件时，画图法比较适合，可以帮助清晰地表示各个集合之间的关系‌‌。 （2）容斥问题涉及多个集合的并集和交集计算时，画图可以帮助直观地展示各个集合之间的关系，避免重复计数‌。 （3）题中所给所求公式没有。 四、随笔练习 例1：(2016年河南省)某公司组织歌舞比赛，共 68 人参赛。其中，参加舞蹈比赛的有 12 人，参加歌唱比赛的有 18 人，45 人什么比赛都没有参加。问同时参加歌舞比赛的有多少人？ （ ）

A.7 B.8 C.9 D.10

例2：(2011年国家)某市对 52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有 8 种产品的低温柔度不合格，10 种产品的可溶物含量不达标，9 种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有 7 种，有 1 种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？ （ ）

A.34 B.35 C.36 D.37

例3：(2018年江西) 某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为90%，在调查对象中有180人会利用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50人，同时使用两种学习方式的有20人，不存在三种学习都不用的人。那么这次共发放了多少份问卷？

A.370 B.380 C.390 D.400

例4：(2024广东梅州事业单位)某单位42名职工参加健身活动，每人至少参加一种，已知参加瑜伽的有22人，参加蛙跳的有30人，参加跑步的有15人，其中5名职工三种健身活动都参加了，该单位有（ ）名职工只参加了一种健身活动？

A.19 B.20 C.21 D.22

例5：(2016重庆35%)一旅行团共有50位游客到某地旅游，去A景点的游客有35位，去B景点的游客有32位，去C景点的游客有27位，去A、B景点的游客有20位，去B、C景点的游客有15位，三个景点都去的游客有8位，有2位游客去完一个景点后先行离团，还有1位游客三个景点都没去。那么，50位游客中有多少位恰好去了两个景点：

A. 29 B. 31 C. 35 D. 37

例6：(2018黑龙江)联欢会上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12人，既吃冰激凌又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃水果的有18人，三样都吃的则有6人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？

A. 12 B. 18 C. 24 D. 32

例7：(2024国家)某高校外国语学院中，会俄语的学生都会英语，其中一半还会法语；会英语的学生中有一半会法语；这三种语言都会的学生有50人，只会其中两种语言的有100人，只会其中一种语言的有150人。问会法语的学生有多少人？

A. 100 B. 200 C. 50 D. 150

例8：(2022天津)某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的14%，物理及格的人数比化学及格的人数多10人，且化学及格的人数占全班人数的60%。已知全班人数不超过70人，问物理及格的人中化学也及格的有多少人？

A. 25 B. 26 C. 27 D. 28