排列组合及概率

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一、排列组合

定义及公式

1. 排列的定义：，所有的情况数可记为 $A^{n}_{m}$；
2. 排列的计算公式：=
   • 例如：从 7 人中选 4 人站排，所有情况: $A^{4}_{7}$ = 7 × 6 × 5 × 4 = 840
3. 组合的定义：，所有的情况数可记为;
4. 组合的计算公式：$C^{m}_{n}$ = $\frac{A^{m}_{n}}{m!}$ = $\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m(m-1)(m-2)...2\times1}$
   • 例如：从 7 人中选 3 人出席活动，所有情况 $C^{3}_{7}$ = $\frac{7 \times6 \times 5}{3 \times 2 \times1}$ = 35

拓展

This is a tip.

“分类“与”分步“

1. 加法原理（分类计算）：完成一件事有若干互斥的方法，每种方法均可独立完成任务。（一句话总结：多选一，各走各的路，最后把路数加起来）
   • 例如：从北京到上海可选择飞机（3 班）、火车（5 趟）、汽车（2 班），则总共有 3 +5 +2 = 10 种方式。因为你只能选一种交通方式。
2. 乘法原理（分步计算）：完成一件事需多个步骤，每一步的结果对后续步骤有影响。（一句话总结：一步一步来，每一步都影响下一步，最后把步数乘起来）
   • 例如：从北京到上海有 3 种方式，再从上海到广州有 4 种方式，则总行程有 3 × 4 = 12 种组合。因为北京到上海相当一条“分支”，上海到广州又是一条“分支”，所以要乘。
3. 综合应用示例：从 5 男 4 女中选 3 人组成委员会，要求至少 1 男 1 女，有多少种选法？
   • 解法一：分情况计算后相加。选 3 人，要求至少 1 男 1 女，可能的情况为 1 男 2 女，2 男 1 女。
     • 1 男 2 女：×=5×6=30
     • 2 男 1 女：×=10×4=40
     • 分类用加法，总共 30+40=70 种
   • 解法二：逆向思维。要求至少 1 男 1 女的对立面为全男或者全女，则总选法减去全男或全女。
     • 总选法：= 84
     • 全男：= 10
     • 全女：= 4
     • 符合条件数：84-10-4=70 种
4. 解题原则：有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手。

特殊解题方法

1. 捆绑法：将要求相邻的元素捆绑在一起看成一个元素去进行运算，就叫做捆绑法。

   • （1）第一步：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要先将要求在一起的部分视为一个整体。
   • （2）第二步：将这个整体与其他元素一起进行排列。
   • （3）第三步：由于两个被“捆绑”的元素内部也有排列，最后要“解绑”，把捆绑的元素内部排列(即几个元素就 A 几几)。
   • 例子：6 个人排队，甲乙相邻，丙丁也要相邻的排法有多少种
     • 分析：甲乙要求相邻，那就将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。丙丁也要求相邻，那也将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。甲乙一个主体，丙丁一个主体，最后还剩下两个主体。所以现在总的有四个主体那就进行全排列=24，然后两个“捆绑”的元素“解绑”排列，即 ×=4，所以 24×4=96 种。

2. 插空法：解决元素不相邻问题。

   • （1）第一步：将剩余元素(除不相邻元素)排序。
   • （2）第二步：再找出能够插入的空位。
   • （3）第三步：将不相邻的元素插入到不同的空位中。
   • 例子：把 12 棵同样的松树和 6 棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植 9 棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?
     • 分析：题目当中要求“每侧的柏树数量相等且不相邻”，满足插空法适用题型。两侧数量相同即一侧柏树 3 棵，松树 6 棵，分步进行，先安排一侧再安排另一侧，采用插空法。优先安排 6 棵松树，因为松树完全相同，所以有一种方法，再将 3 棵柏树插入空中，因为松树要在两端，所以共 5 个空，，两侧都安排分步共 10×10=100 种方法。

3. 插板法：

   • （1）题型标志：分相同的东西为若干组，每组至少分 1 个
   • （2）解题方法：将 n 个相同的东西分给 m 个主体，每个主体至少分 1 个，有种分法。
   • （3）原理：n 个相同东西排成一列，形成 n-1 个内部空，需要分给 m 个主体，那只需要把排成一列的东西分成 m 堆，那只需要在 n-1 个内部空中插入 m-1 个板即可形成。
   • （4）注意：若要求 "每人至少分 a 个"，我们可以先给每个主体至少分 a-1 个，此时东西还剩 n-m×(a-1)，问题直接转换成 n-m×(a-1)个相同的东西分给 m 个主体，每个主体至少分 1 个，带入公式有种分法。
   • 例子：将 7 个大小相同的桔子分给 4 个小朋友，要求每个小朋友至少得到 1 个桔子，一共有( )种分配方法
     • 分析：题目为 7 个大小相同的桔子，元素相同，分配给 4 个小朋友，每人至少一个，满足隔板法使用条件，可直接套用公式，方法数有=20

4. 错位排列：

   • （1）比如学校要考试，一共有 18 个班级，而学校规定，每个班的班主任不能回到自己班级监考，那么此时，班主任能够选择的是除了自己班以外的其他 17 个班级。这就是错位排列。
   • （2）首先从数量少的开始，若只有 1 个班级，1 个班主任，没有其他班级可以监考，所以有 0 种方式完成此事
   • （3）若有 2 个班级，那么我们称之为 A、B 班，假设你是 A 班的班主任，现在要求不能监考自己的班级，只能去 B 班；同样假 B 班去 A 班，因此有 1 种方式完成此事;
   • （4）继续假设若有 3 个班级 A、B、C；此时只有两种方式（B 班主任、C 班主任、A 班主任）、（C 班主任、A 班主任、B 班主任）
   • （5）但再往上 4 个班级、5 个班级甚至更多……如果用这种枚举的方式去做，就很难完成了
   • （6）公式：
   • （7）只需要记住 n=1、2、3、4、5、6 取值，表如下：

     n	1	2	3	4	5	6
     	0	1	2	9	44	265

5. 环形排列：

   • （1）问法：n 个元素围成一圈，问有多少种排列方法？计算时需要剔除重复的排列，比如 abcde，bcdea，cdeab，deabc，eabcd，这五种围成环都是一种
   • （2）使用公式：
   • 例子：(2010 新疆)5 个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少种不同方法
     • 分析：带入公式=24 种方法

6. 枚举法：当情况数较少时，利用枚举，不重复不漏掉，又不会耗费太多时间。

   • 例子：用 1、2、3 各一次可以组成多少个不同的三位数？
     • 分析：按照从小到大的顺序一一枚举出答案（123、132、213、231、312、321）。

二、概率

1. 定义：概率即某种情况发生的可能性，一般以 0 ～ 1 之间的实数来表示；
2. 公式：某种情况发生的概率(P)=满足条件的情况数 ÷ 总的情况数 = 1 - 某种情况不发生的概率（逆向思维）。
   • 从公式出发也不难看出，排列组合就是概率的基础，概率的公式中分子分母都在求情况数，都是在一定条件下的排列组合；
3. 注意：
   • （1）遇到正向情况较复杂的，可以逆向来计算；
   • （2）可能会考察区域面积或者长度来计算概率。即 P=发生的所有可能结果所组成面积或长度 ÷ 所有可能结果所组成的总面积或总长度

拓展：跟屁虫题型

1. 题型判定：在概率问题中出现

   • （1）同一行；
   • （2）同一班次；
   • （3）同一组；
   • （4）不同组；
   • （5）圆周相邻或不相邻等情况。

2. 解题思路：第一个元素随便放，只考虑第二个元素相对于第一个元素的位置。

   • 例 1：国王举行了晚会，有 100 个人（包含国王和王后）参加，随机围坐在篝火四周，则国王和王后恰好坐在一起的概率是多少？
     • 分析：题目问“坐在篝火四”、“坐在一起”，那就是圆周相邻。根据跟屁虫原理，先让国王随便入座，还剩余 99 个座位，若要和国王相邻，只有国王的左边和右边两个位置；一共 99 个座位只有 2 个座位是相邻的，所以概率为 2/99。
   • 例 2：国王举行了晚会，有 100 个人（包含国王和王后和王子）参加，随机围坐在篝火四周，国王和王子需要坐一起，则王后和国王恰好坐在一起的概率是多少？
     • 分析：根据跟屁虫原理，第一个元素随便放，这里的第一个元素是指“国王和王子需要坐一起”，先让国王随便入座，王子在与国王相邻，此时剩余 98 个座位，若王后要和国王相邻，国王旁边只有 1 个位置相邻，因为旁边坐了一个王子；一共 98 个座位只有 1 个座位是相邻的，所以概率为 1/98。

三、随笔练习

1. (2014 国考 ) 一次会议某单位邀请了 10 名专家，该单位预定了 10 个房间，其中一层 5 间、二层 5 间。已知邀请专家中 4 人要求住二层，3 人要求住一层，其余 3 人住任一层均可，那么要满足他们的住房要求且每人 1 间，有多少种不同的安排方案 ?

   • A.43200
   • B.7200
   • C.450
   • D.75

2. (2016 国考 ) 为加强机关文化建设，某市直属机关在系统内举办演讲比赛。3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内 ?（ ）

   • A.小于 1000
   • B.1000 ～ 5000
   • C.5001 ～ 20000
   • D.大于 20000

3. 办公室工作人员一共有 8 个人，某次会议，已知全部到场。问：恰好有 3 个人坐错位置的情况一共有多少种?

   • A.78
   • B.96
   • C.112
   • D.146

4. (2018 贵州选调)某公司将在本周一至周日连续七天举办联谊会，某员工随机地选择其中的连续两天参加联谊会，那么他在周五至周日期间连续两天参加联谊会的概率为：

   • A. 1/2
   • B. 1/3
   • C. 1/4
   • D. 1/6

5. (2018 四川自贡事业单位)5 人相约一起去看电影，已知 5 个人同坐一排，且甲、乙、丙三人必须挨在一起，一共有（ ）种坐法。

   • A.18
   • B.28
   • C.36
   • D.42

6. (2020 云南)某城市一条道路上有 4 个十字路口，每个十字路口至少有 1 名交通协管员，现将 8 个协管员名额分配到这 4 个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：

   • A. 35 种
   • B. 70 种
   • C. 96 种
   • D. 114 种

7. (2017 国考) 某集团企业 5 个分公司分别派出 1 人去集团总部参加培训，培训后再将 5 人随机分配到这 5 个分公司，每个分公司只分配 1 人。问 5 个参加培训的 人中，有且仅有 1 人在培训后返回原分公司的概率：

   • A.低于 20%
   • B.在 20%~30% 之间
   • C.在 30%~35% 之间
   • D.大于 35%

8. (2023 浙江)某停车场有 7 个连成一排的空车位。现有 3 辆车随机停在这排车位中，则任意两辆车之间至少间隔一个车位的概率为：

   • A. 1/5
   • B. 2/7
   • C. 6/35
   • D. 9/35

9. (2018 河北石家庄事业单位)有 5 对夫妻参加一场婚礼，他们被安排在一张 10 个座位的圆桌就餐，但是操办者不知道他们之间的关系，随机安排座位，问 5 对夫妻恰好相邻而坐的概率是（ ）。

   • A．在 1‰到 5‰之间
   • B．在 5‰到 1%之间
   • C．超过 1%
   • D．不超过 1‰

10. (2018 国家)某单位的会议室有 5 排共 40 个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：

    • A．不高于 15%
    • B．高于 15%但低于 20%
    • C．正好为 20%
    • D．高于 20%

11. (2025 河北 36%)一只蜘蛛爬到一块正方形瓷砖上，该瓷砖的花纹由 8 个全等的菱形和 12 个全等的等腰直角三角形构成（如下图所示），假设蜘蛛的停留位置是随机的，那么蜘蛛恰好停在白色区域的概率最接近下列哪个值？

    • A．25%
    • B．30%
    • C．35%
    • D．高于 20%

12. (2024 海南)一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一条直角边外的水管长 7 米。若在水管上随机任选 1 个点做标记，则该标记点在斜边上的概率在以下哪个范围内？（忽略水管直径）

    • A．小于 0.35
    • B．在 0.35~0.42 之间
    • C．在 0.42~0.50 之间
    • D．大于 0.50

13. (2024 甘肃)企业将 12 个技术培训名额分配给甲、乙、丙三个研发团队。要求乙团队分配的培训名额比甲团队少，但比丙团队多，且每个团队至少分配 1 个名额。问有多少种不同的分配方式？

    • A．6
    • B．7
    • C．36
    • D．42