排列组合及概率 字数: 5327 字 时长: 20 分钟 VIP文档

一、排列组合 定义及公式 1、排列的定义：从n个不同元素中，取m个进行排序（有顺序），所有的情况数可记为 ；

2、排列的计算公式：

例如：从7人中选4人站排，所有情况= =7×6×5×4 3、组合的定义：从n个不同元素中，取m个（无顺序），所有的情况数可记为 ;

4、组合的计算公式：

=

例如：从7人中选3人出席活动，所有情况=

拓展

① ＝ ＝ ＝ ＝1 ② ＝ ， ＝ ， ＝ ，可以理解为“五人中选三人剩两人”与“五人中选两人剩三人”的情况数相同。 ”分类“与”分步“ 1、加法原理（分类计算）：完成一件事有若干互斥的方法，每种方法均可独立完成任务。（一句话总结：多选一，各走各的路，最后把路数加起来）

例如：从北京到上海可选择飞机（3班）、火车（5趟）、汽车（2班），则总共有3 +5 +2 = 10 种方式。因为你只能选一种交通方式。 2、乘法原理（分步计算）：完成一件事需多个步骤，每一步的结果对后续步骤有影响。（一句话总结：一步一步来，每一步都影响下一步，最后把步数乘起来）

例如：从北京到上海有3种方式，再从上海到广州有4种方式，则总行程有 3 × 4 = 12 种组合。因为北京到上海相当一条“分支”，上海到广州又是一条“分支”，所以要乘。 3、综合应用示例：从5男4女中选3人组成委员会，要求至少1男1女，有多少种选法？

解法一：分情况计算后相加。选3人，要求至少1男1女，可能的情况为1男2女，2男1女。 1男2女： × =5×6=30 2男1女： × =10×4=40 分类用加法，总共30+40=70种 解法二：逆向思维。要求至少1男1女的对立面为全男或者全女，则总选法减去全男或全女。 总选法： =84 全男： =10 全女： =4 符合条件数：84-10-4=70种 4、解题原则：有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手。

特殊解题方法 1、捆绑法：将要求相邻的元素捆绑在一起看成一个元素去进行运算，就叫做捆绑法。

（1）第一步：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要先将要求在一起的部分视为一个整体。 （2）第二步：将这个整体与其他元素一起进行排列。 （3）第三步：由于两个被“捆绑”的元素内部也有排列，最后要“解绑”，把捆绑的元素内部排列(即几个元素就A几几)。 例子：6个人排队，甲乙相邻，丙丁也要相邻的排法有多少种 分析：甲乙要求相邻，那就将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。丙丁也要求相邻，那也将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。甲乙一个主体，丙丁一个主体，最后还剩下两个主体。所以现在总的有四个主体那就进行全排列 =24，然后两个“捆绑”的元素“解绑”排列，即 × =4，所以24×4=96种，

2、插空法：解决元素不相邻问题。

（1）第一步：将剩余元素(除不相邻元素)排序。 （2）第二步：再找出能够插入的空位。 （3）第三步：将不相邻的元素插入到不同的空位中。 例子：把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?( 分析：题目当中要求“每侧的柏树数量相等且不相邻”，满足插空法适用题型。两侧数量相同即一侧柏树3棵，松树6棵，分步进行，先安排一侧再安排另一侧，采用插空法。优先安排6棵松树，因为松树完全相同，所以有一种方法，再将3棵柏树插入空中，因为松树要在两端，所以共5个空， ，两侧都安排分步共10×10=100种方法。

3、插板法：

（1）题型标志：分相同的东西为若干组，每组至少分1个 （2）解题方法：将n个相同的东西分给m个主体，每个主体至少分1个，有 种分法。 （3）原理：n个相同东西排成一列，形成 n-1 个内部空，需要分给 m 个主体，那只需要把排成一列的东西分成 m 堆，那只需要在 n-1 个内部空中插入 m-1个板即可形成。 （4）注意：若要求 "每人至少分a个"，我们可以先给每个主体至少分 a-1 个，此时东西还剩 n-m×(a-1)，问题直接转换成n-m×(a-1)个相同的东西分给m个主体，每个主体至少分1个，带入公式有 种分法。 例子：将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有( )种分配方法 分析：题目为7个大小相同的桔子，元素相同，分配给4个小朋友，每人至少一个，满足隔板法使用条件，可直接套用公式，方法数有 =20

4、错位排列：

（1）比如学校要考试，一共有18个班级，而学校规定，每个班的班主任不能回到自己班级监考，那么此时，班主任能够选择的是除了自己班以外的其他17个班级。这就是错位排列。 （2）首先从数量少的开始，若只有1个班级，1个班主任，没有其他班级可以监考，所以有0种方式完成此事 （3）若有2个班级，那么我们称之为A、B班，假设你是A班的班主任，现在要求不能监考自己的班级，只能去B班；同样假B班去A班，因此有1种方式完成此事; （4）继续假设若有3个班级A、B、C；此时只有两种方式（B班主任、C班主任、A班主任）、（C班主任、A班主任、B班主任） （5）但再往上4个班级、5个班级甚至更多……如果用这种枚举的方式去做，就很难完成了 （6）公式： （7）只需要记住n=1、2、3、4、5、6取值，表如下： n 1 2 3 4 5 6 0 1 2 9 44 265 5、环形排列：

（1）问法：n个元素围成一圈，问有多少种排列方法？计算时需要剔除重复的排列，比如abcde，bcdea，cdeab，deabc，eabcd，这五种围成环都是一种 （2）使用公式： 例子：(2010 新疆)5 个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少种不同方法 分析：带入公式 =24种方法

6、枚举法：当情况数较少时，利用枚举，不重复不漏掉，又不会耗费太多时间。

例子：用1、2、3各一次可以组成多少个不同的三位数？ 分析：按照从小到大的顺序一一枚举出答案（123、132、213、231、312、321）。

二、概率 1、定义：概率即某种情况发生的可能性，一般以0～1之间的实数来表示；

2、公式：某种情况发生的概率(P)= 满 足 条 件 的 情 况 数 总 的 情 况 数 = 1 - 某种情况不发生的概率（逆向思维）。

从公式出发也不难看出，排列组合就是概率的基础，概率的公式中分子分母都在求情况数，都是在一定条件下的排列组合； 3、注意：

（1）遇到正向情况较复杂的，可以逆向来计算； （2）可能会考察区域面积或者长度来计算概率。即P= 发 生 的 所 有 可 能 结 果 所 组 成 面 积 或 长 度 所 有 可 能 结 果 所 组 成 的 总 面 积 或 总 长 度 拓展：跟屁虫题型

1、题型判定：在概率问题中出现

（1）同一行； （2）同一班次； （3）同一组； （4）不同组； （5）圆周相邻或不相邻等情况。 2、解题思路：第一个元素随便放，只考虑第二个元素相对于第一个元素的位置。

例1：国王举行了晚会，有100个人（包含国王和王后）参加，随机围坐在篝火四周，则国王和王后恰好坐在一起的概率是多少？

分析：题目问“坐在篝火四”、“坐在一起”，那就是圆周相邻。根据跟屁虫原理，先让国王随便入座，还剩余99个座位，若要和国王相邻，只有国王的左边和右边两个位置；一共99个座位只有2个座位是相邻的，所以概率为 2/99。

例2：国王举行了晚会，有100个人（包含国王和王后和王子）参加，随机围坐在篝火四周，国王和王子需要坐一起，则王后和国王恰好坐在一起的概率是多少？

分析：根据跟屁虫原理，第一个元素随便放，这里的第一个元素是指“国王和王子需要坐一起”，先让国王随便入座，王子在与国王相邻，此时剩余98个座位，若王后要和国王相邻，国王旁边只有1个位置相邻，因为旁边坐了一个王子；一共98个座位只有1个座位是相邻的，所以概率为 1/98。

三、随笔练习 例1：(2014 国考 ) 一次会议某单位邀请了 10 名专家，该单位预定了 10 个房间，其中一层 5 间、二层 5 间。已知邀请专家中 4 人要求住二层，3 人要求住一层，其余 3 人住任一层均可，那么要满足他们的住房要求且每人 1 间，有多少种不同的安排方案 ?

A.43200 B.7200 C.450 D.75

例2：(2016 国考 ) 为加强机关文化建设，某市直属机关在系统内举办演讲比赛。3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内 ?（ ）

A.小于 1000 B.1000 ～ 5000 C.5001 ～ 20000 D.大于 20000

例3：办公室工作人员一共有8个人，某次会议，已知全部到场。问：恰好有3个人坐错位置的情况一共有多少种?

A.78 B.96 C.112 D.146

例4：(2018贵州选调)某公司将在本周一至周日连续七天举办联谊会，某员工随机地选择其中的连续两天参加联谊会，那么他在周五至周日期间连续两天参加联谊会的概率为：

A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/6

例5：(2018四川自贡事业单位)5人相约一起去看电影，已知5个人同坐一排，且甲、乙、丙三人必须挨在一起，一共有（ ）种坐法。

A.18 B.28 C.36 D.42

例6：(2020云南)某城市一条道路上有4个十字路口，每个十字路口至少有1名交通协管员，现将8个协管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：

A. 35种 B. 70种 C. 96种 D. 114种

例7：(2017国考) 某集团企业 5 个分公司分别派出 1 人去集团总部参加培训，培训后再将 5 人随机分配到这 5 个分公司，每个分公司只分配 1 人。问 5 个参加培训的 人中，有且仅有 1 人在培训后返回原分公司的概率：

A.低于 20% B.在 20%~30% 之间 C.在 30%~35% 之间 D.大于 35%

例8：(2023浙江)某停车场有7个连成一排的空车位。现有3辆车随机停在这排车位中，则任意两辆车之间至少间隔一个车位的概率为：

A. 1/5 B. 2/7 C. 6/35 D. 9/35

例9：(2018河北石家庄事业单位)有5对夫妻参加一场婚礼，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是操办者不知道他们之间的关系，随机安排座位，问5对夫妻恰好相邻而坐的概率是（ ）。

A．在1‰到5‰之间 B．在5‰到1%之间 C．超过1% D．不超过1‰

例10：(2018国家)某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：

A．不高于15% B．高于15%但低于20% C．正好为20% D．高于20%

例11：(2025河北36%)一只蜘蛛爬到一块正方形瓷砖上，该瓷砖的花纹由8个全等的菱形和12个全等的等腰直角三角形构成（如下图所示），假设蜘蛛的停留位置是随机的，那么蜘蛛恰好停在白色区域的概率最接近下列哪个值？

A．25% B．30% C．35% D．高于20%

例12：(2024海南)一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一条直角边外的水管长7米。若在水管上随机任选1个点做标记，则该标记点在斜边上的概率在以下哪个范围内？（忽略水管直径）

A．小于0.35 B．在0.35~0.42之间 C．在0.42~0.50之间 D．大于0.50

例13：(2024甘肃)企业将12个技术培训名额分配给甲、乙、丙三个研发团队。要求乙团队分配的培训名额比甲团队少，但比丙团队多，且每个团队至少分配1个名额。问有多少种不同的分配方式？

A．6 B．7 C．36 D．42